Nëse A është një matricë m × n, atëherë ATA dhe AAT kanë të njëjtat eigjenvlera jozero … Prandaj Ax është një eigjenvektor i AAT që korrespondon me vlerën vetjake λ. Një argument analog mund të përdoret për të treguar se çdo vlerë eigjene jozero e AAT është një vlerë vetjake e ATA, duke plotësuar kështu vërtetimin.
A janë të njëjta vlerat e AAT dhe ATA?
Matricat AAT dhe ATA kanë të njëjtat vlera eigjene jozero. Seksioni 6.5 tregoi se eigenvektorët e këtyre matricave simetrike janë ortogonale.
A është ATA e njëjtë me AAT?
Meqenëse AAT dhe ATA janë simetrike reale, ato mund të diagonalizohen me matrica ortogonale. Nga pohimi i mëparshëm (pasi shumëzimet gjeometrike dhe algjebrike përkojnë) rrjedh se AAT dhe ATA kanë të njëjtat eigjenvlera.
A ka ATA vlera vetjake të dallueshme?
E vërtetë. Për shembull, nëse A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , atëherë ekuacioni karakteristik det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 nuk ka rrënjë të përsëritur. Prandaj të gjitha eigjenvlerat e A janë të dallueshme dhe A është e diagonalizueshme. 3.35 Për çdo matricë reale A, AtA është gjithmonë e diagonalizueshme.
A mund të kenë eigenvektorë të ndryshëm të njëjtën vlerë vetjake?
Dy Eigenvektorë të ndryshëm që korrespondojnë me të njëjtën vlerë Eigenvalue janë gjithmonë të varura linearisht. Dy Eigenvektorë të ndryshëm që korrespondojnë me të njëjtën vlerë eigen janë gjithmonë të varur në mënyrë lineare.
